Multilinear Polynomial Commitments와 Sumcheck 관련 기법들

Multilinear Polynomial Commitments와 Sumcheck 관련 기법들

Multilinear Polynomial은 다항식의 한 유형으로, 각 변수의 차수가 1 이상인 항들로 이루어져 있습니다. 이러한 다항식은 여러 변수 간의 상호작용을 모델링하는 데에 유용하게 사용됩니다. 이전 포스팅에서는 Multilinear Polynomial에 대한 linear-time commitment 중 하나인 Brakedown에 대해서 알아보았습니다.

Brakedown은 다항식에 대한 커밋먼트를 생성하는 알고리즘으로, 다항식을 평가하지 않고도 다항식의 일부 항에 대한 커밋먼트를 생성할 수 있습니다. 이를 통해 다항식의 일부 항들을 보안상 유지하면서 다항식의 일부 정보를 공개할 수 있습니다. 한편, Multilinear Polynomial에 대한 다양한 기법들이 개발되고 있습니다.

그 중 Sumcheck 관련 기법들이 주목받고 있는데, Sumcheck는 다항식을 평가하는 과정을 상당히 효율적으로 수행할 수 있는 방법을 제공합니다. Sumcheck 기법은 다항식을 트리 구조로 분해하고, 노드들 간의 상호작용을 통해 다항식의 값을 계산합니다. 이 때, 합계 확인을 위한 랜덤 쿼리를 이용하여 다항식의 일부 항들을 무작위로 선택하여 계산하고, 그 결과를 검증합니다.

이 과정을 통해 다항식의 값을 적은 계산 비용으로 정확하게 얻어낼 수 있습니다. 위의 내용을 정리하자면 다음과 같습니다:

1. Multilinear Polynomial은 변수들 간의 다항식 상호작용을 모델링하는 유용한 유형의 다항식입니다.
2. Brakedown은 Multilinear Polynomial에 대한 linear-time commitment 알고리즘 중 하나로, 다항식의 일부 항에 대한 커밋먼트를 생성할 수 있습니다.
   
   
3. Sumcheck는 다항식을 효율적으로 평가하기 위한 기법으로, 다항식을 트리 구조로 분해하고 상호작용을 통해 값을 계산합니다.

위의 내용을 표로 나타내면 다음과 같습니다:

키워드	설명
Multilinear Polynomial	변수들 간의 다항식 상호작용을 모델링하는 유형의 다항식
Brakedown	Multilinear Polynomial에 대한 linear-time commitment 알고리즘 중 하나로, 다항식의 일부 항에 대한 커밋먼트 생성
Sumcheck	Multilinear Polynomial 평가를 효율적으로 수행하는 기법으로, 다항식을 트리 구조로 분해하고 상호작용과 랜덤 쿼리를 통해 값을 계산

위의 내용을 통해 Multilinear Polynomial Commitments와 Sumcheck 관련 기법들에 대한 개요를 알아보았습니다. 이러한 기법들은 다항식 관련 연구 및 응용 분야에서 중요한 역할을 하고 있으며, 더욱 발전될 것으로 기대됩니다.

앞선 부분에서는 prir Polynomial의 commitment에 대한 기법 중 ProtoStar에 대해서 다루었다. 이번에는 그 두 번째 논문인 HyperNova에 대해 다루어보자. HyperNova는 folding 기법이 적용된 ZKP 기법으로, 2019년에 발표된 최신 연구이다. HyperNova는 folding 기법을 사용하여 prir Polynomial의 commitment을 구현한다.

이 논문에서는 ProtoStar와 비교하여 보다 간결하고 효율적인 commitment 구현을 제시하고 있다. HyperNova에서는 ProtoStar에서 사용된 professionally binding commitment scheme 대신 워스트 케이스에 대해서 binding한 commitment scheme을 사용한다. 이로써 작업량을 줄이고 보다 효율적인 commitment이 가능하게 된다.

또한 HyperNova에서는 ProtoStar보다 더 짧은 서명 길이를 가지는 commitment을 제공한다. 또한 HyperNova에서는 효율적인 proof-of-compliance를 위해 folding 기법을 사용한다. Folding 기법은 최적화된 연산에 기반한 commitment과 관련된 proof의 길이를 줄이는 기법으로, ProtoStar와 비교하여 더욱 효율적인 proof 구현이 가능하다.

HyperNova는 ProtoStar와 비교해서 작업량과 길이 면에서 보다 우수한 성능을 보여준다. 하지만 두 기법의 장단점을 고려하여 선택해야 한다. 다음은 ProtoStar와 HyperNova의 대표적인 특징과 성능 비교이다.

기법	특징	성능
ProtoStar	professionally binding commitment	높은 작업량, 긴 commitment 길이
HyperNova	worst-case binding commitment	낮은 작업량, 짧은 commitment 길이

ProtoStar와 HyperNova는 prir Polynomial의 commitment을 구현하기 위한 각기 다른 장점을 가지고 있다. 구현해야 할 환경과 요구사항에 맞는 적절한 기법을 선택하여 사용해야 한다.